On en déduit :
, d'où puisque G ≥ 0, et enfin : | ∫ | + ∞
- ∞
| e - x 2 dx = 2 G = | √
| ––
π
|
par parité.
Cas général
En effectuant dans l'intégrale de Gauss le changement de variable défini par
, on obtient :
| ∫ | + ∞
- ∞
| e - α x 2 dx = | 1
–––––––
√( α) | ∫ | + ∞
- ∞
| e - t 2 dt = | 1
–––––––
√( α) | √
| ––
π
| = | √
| ––––––––––––
( π)/( α)
|
.
Corollaire
Le réel
| Γ | ( | 1
––
2 | ) | = ∫ | + ∞
0
| e - t
–––––
√t | dt |
(une valeur de la fonction Gamma d'Euler) est égal à .
En effet, effectuant dans l'intégrale ci-dessus le changement de variable t = x 2 , où x > 0, on obtient :
| ∫ | + ∞
0
| e - t
–––––
√t | dt = ∫ | + ∞
0
| e - x 2
–––––––
x | 2 x dx = 2 ∫ | + ∞
0
| e - x 2 dx = ∫ | + ∞
- ∞
| e - x 2 dx = | √
| ––
π
|
.